Question

已知∠MAN=120°，AC平分∠MAN．

（1）在图1中，若∠ABC=∠ADC=90°，求证：AB+AD=AC；

（2）在图2中，若∠ABC+∠ADC=180°，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

Answer

(1)见解析;(2)见解析.

【解析】

（1）根据角平分线的性质可得∠DAC=∠BAC=60°，又已知∠ABC=∠ADC=90°，所以∠DCA=∠BCA=30°，根据直角三角形的性质可证AC=2AD，AC=2AB，所以AD+AB=AC．
（2）根据已知条件可在AN上截取AE=AC，连接CE，根据AAS可证△ADC≌△EBC，得到DA=BE，所以AD+AB=AB+BE=AE，即AD+AB=AC．

【解析】
（1）在Rt△ACD中，∠DCA=30°，Rt△ACB中，∠BCA=30°

∴AC=2AD，AC=2AB，

∴2AD=2AB

∴AD=AB

∴AD+AB=AC．

（2）（1）中的结论AD+AB=AC成立，

理由如下：如图2，在AN上截取AE=AC，连接CE，

∵∠CAE=60°，

∴△ACE是等边三角形，

∴∠DAC=∠CEB=60°，

∵∠ADC+∠ABC=180°，∠ABC+∠EBC=180°，

∴∠ADC=∠EBC，

∵在△ADC和△EBC中，

，

∴△ADC≌△EBC

∴DA=BE

∵△CAE为等边三角形，

∴AC=AE，

∴AD+AB=AB+BE=AE=AC，

∴AD+AB=AC．