Question

已知Rt△OAB，∠OAB=90°，∠ABO=30°，斜边OB=4，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转60°，如题图1，连接BC．

（1）求线段BC的长；

（2）如图1，连接AC，作OP⊥AC，垂足为P，求OP的长度；

（3）如图2，点M是线段OC的中点，点N是线段OB上的动点（不与点O重合），求△CMN周长的最小值.

Answer

（1）4；（2）；（3）的最小值为

【解析】

（1）由旋转性质证明△OBC是等边三角形即可;

（2）由30度的直角三角形的性质求出AB的长，然后求出△AOC的面积，再利用勾股定理计算即可;

（3）连接BM,AM,证明△BAO≌△BMO,进而证明 AM被BD垂直平分即M关于直线BO的对称点为A,连接AC,则=AC+MC，由M是OC的中点即可求解.

【解析】
（1）由旋转性质可知：OB=OC,∠BOC=60°，

∴△0BC是等边三角形，

∴BC=BO=OC=4

（2）∵OB=4，∠ABO=30°

∴OA=OB=2,AB=OA=2 ,

∴S△AOC=·OA·AB=×2×2 =2

∵△0BC是等边三角形，

∴∠OBC=60°，∠ABC=∠ABO+∠OBC=90°

∴AC==2

∴OP=== ;

(3)

连接BM,AM

∵M为OC中点，△OBC为等边三角形

∴BMOC

在Rt△AOB中，,

∴

∵

∴

∵,BO=BO

∴≌

∴BM=AB

AO=OM

∴BO在AM的中垂线上

∴AM被BD垂直平分

即M关于直线BO的对称点为A,

连接AC,则=AC+MC

∵M是OC的中点

∴MC=OC=2

∴的最小值为