Question

如图，AB⊥BC，DC⊥BC，垂足分别为B、C，设AB＝4，DC＝1，BC＝4．

（1）求线段AD的长．

（2）在线段BC上是否存在点P，使△APD是等腰三角形？若存在，求出线段BP的长；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）AD =5；（2）在线段BC上是否存在点P,使△APD是等腰三角形,此时线段BP的长为3或.

【解析】

试题（1）过点D作DE⊥AB于E点，由可判断四边形BCDE要矩形，然后通过勾股定理即可求得AD的长；

（2）分AP=AD、PA=PD这两种情况进行讨论即可得.

试题解析：（1）过D作DE⊥AB于E点，

由AB⊥BC,DC⊥BC ，则可得四边形BCDE是矩形，∴BE=DC=1，DE=BC=4，∵AB=4，∴AE=AB-BE=1，∵∠AED=90°，∴AD= =5；

（2）如图1，当AP=AD=5时，∵∠B=90°，∴BP= =3；

如图2，当PA=PD时，∵∠B=∠C=90°，∴AB2+BP2=DC2+PC2，即42+BP2=12+（4-BP）2，∴BP= ；

综上，在线段BC上是否存在点P,使△APD是等腰三角形,此时线段BP的长为3或.