Question

如图，在平面直角坐标系中，点、点，点P是x轴正半轴上一动点给出4个结论：

线段AB的长为5；

在中，若，则的面积是；

使为等腰三角形的点P有3个；

设点P的坐标为，则+的最小值为．

其中正确的结论有____．

Answer

【解析】

利用勾股定理可以计算AB的长；
如图2，作辅助线，利用面积差可得的面积；
如图3，分别以AB为腰和底边作等腰三角形有三个，分别画图可得；
如图4，先作垂线段BD，由勾股定理可知：就是PA的长，就是PB的长，所以的最小值就是的最小值，根据轴对称的最短路径问题可得结论．

①如图1，过B作于C，
点、点，
，，
在中，由勾股定理得：，
故①结论不正确；
②如图2，在中，，，

，
过B作轴于D，
，，
，
，
，
，
，
故②结论不正确；
③如图3，

以A为圆心，以AB为半径画圆与x轴的正半轴有一交点，得是等腰三角形；
作AB的中垂线，交x轴的正半轴有一交点，得是等腰三角形；
以B为圆心，以AB为半径画圆与x轴的正半轴有一交点，得是等腰三角形；
综上所述，使为等腰三角形的点P有3个；
故③结论正确；
④如图4，过B作轴于D，
，
，，
由勾股定理得：，，
作A关于x轴的对称点，连接交x轴于P，则，

∴，
此时的值最小，
过B作于C，
则，，
由勾股定理得：，
的最小值是，
即设点P的坐标为，则的最小值为．
故④结论正确；
综上所述，其中正确的结论有：③④；
故答案为：③④．