Question

如图，AB是⊙O的直径，，E是OB的中点，连接CE并延长到点F，使EF=CE．连接AF交⊙O于点D，连接BD，BF．

（1）求证：直线BF是⊙O的切线；

（2）若OB=2，求BD的长．

Answer

（1）证明见解析；（2）BD=．

【解析】（1）连接OC，由已知可得∠BOC=90°，根据SAS证明△OCE≌△BFE，根据全等三角形的对应角相等可得∠OBF=∠COE=90°，继而可证明直线BF是⊙O的切线；

（2），由（1）的全等可知BF=OC=2，利用勾股定理求出AF的长，然后由S△ABF=，即可求出BD=．

（1）连接OC，

∵AB是⊙O的直径，，∴∠BOC=90°，

∵E是OB的中点，∴OE=BE，

在△OCE和△BFE中，

，

∴△OCE≌△BFE（SAS），

∴∠OBF=∠COE=90°，

∴直线BF是⊙O的切线；

（2）∵OB=OC=2，由（1）得：△OCE≌△BFE，

∴BF=OC=2，

∴AF=，

∴S△ABF=，

即4×2=2BD，

∴BD=．