Question

已知点A（a，m）在双曲线y=上且m＜0，过点A作x轴的垂线，垂足为B．

（1）如图1，当a=﹣2时，P（t，0）是x轴上的动点，将点B绕点P顺时针旋转90°至点C，

①若t=1，直接写出点C的坐标；

②若双曲线y=经过点C，求t的值．

（2）如图2，将图1中的双曲线y=（x＞0）沿y轴折叠得到双曲线y=﹣（x＜0），将线段OA绕点O旋转，点A刚好落在双曲线y=﹣（x＜0）上的点D（d，n）处，求m和n的数量关系．

Answer

（1）①C（1，3）．②t=﹣4 或2；（2）满足条件的m、n的关系是m+n=0或mn=﹣8．

【解析】（1）①如图1﹣1中，求出PB、PC的长即可解决问题；

②图1﹣2中，由题意C（t，t+2），理由待定系数法，把问题转化为方程解决即可；

（2）分两种情形①当点A与点D关于x轴对称时，A（a，m），D（d，n），可得m+n=0．

②当点A绕点O旋转90°时，得到D′，D′在y=﹣上，作D′H⊥y轴，则△ABO≌△D′HO，推出OB=OH，AB=D′H，由A（a，m），推出D′（m，﹣a），即D′（m，n），由D′在y=﹣上，可得mn=﹣8.

（1）①如图1﹣1中，

由题意：B（﹣2，0），P（1，0），PB=PC=3，

∴C（1，3）；

②图1﹣2中，由题意C（t，t+2），

∵点C在y=上，

∴t（t+2）=8，

∴t=﹣4 或2；

（2）如图2中，

①当点A与点D关于x轴对称时，A（a，m），D（d，n），

∴m+n=0；

②当点A绕点O旋转90°时，得到D′，D′在y=﹣上，

作D′H⊥y轴，则△ABO≌△D′HO，

∴OB=OH，AB=D′H，

∵A（a，m），

∴D′（m，﹣a），即D′（m，n），

∵D′在y=﹣上，

∴mn=﹣8，

综上所述，满足条件的m、n的关系是m+n=0或mn=﹣8．