Question

在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2）延长CB交x轴于点A₁，作正方形A₁B₁C₁C；延长C₁B₁交x 轴于点A₂，作正方形A₂B₂C₂C₁，…按这样的规律进行下去，第2018个正方形的面积为_____．

Answer

5×（）2017．

【解析】

根据勾股定理求出AB，证明△ABA1∽△DOA，根据相似三角形的性质求出A1B，计算求出A1C，根据正方形的面积公式求出正方形A1B1C1C的面积，总结规律，根据规律计算即可．

∵点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2），

∴OA=1，OD=2，

∵∠AOD=90°，

∴AB=AD==，∠ODA+∠OAD=90°，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BAD=∠ABC=90°，S正方形ABCD=5，

∴∠ABA1=90°，∠OAD+∠BAA1=90°，

∴∠ODA=∠BAA1，

∴Rt△ABA1∽Rt△DOA，

∴，即，

解得，A1B=，

∴A1C=，

则正方形A1B1C1C的面积=（）2=5×，

同理，正方形A2B2C2C1的面积=5×（）2，

…

则第2018个正方形的面积为5×（）2017，

故答案为：5×（）2017．