Question

如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝10cm，BC＝5cm，点P从点C出发沿线段CA以每秒2cm的速度运动，同时点Q从点B出发沿线段BC以每秒1cm的速度运动．设运动时间为t秒（0＜t＜5）．

（1）填空：AB＝　   　cm；

（2）t为何值时，△PCQ与△ACB相似；

（3）如图2，以PQ为斜边在异于点C的一侧作Rt△PEQ，且，连结CE，求CE．（用t的代数式表示）．

Answer

（1）cm；（2）当t=1或秒时，△PCQ与△ACB相似；（3）CE=3+t；

【解析】

(1)利用勾股定理可求得AB.

(2)分和两种情况讨论.

(3) 过点作交于,先说明△∽△，得到，用含t的代数式表示HE、CH,最后用勾股定理求出CE.

（1）AB=cm；

（2）由题意可知：,,QC=5-t

∵∠PCQ=∠ACB

∴当或时，△PCQ与△ACB相似

当时，，解得t=1;

当时，，解得t=，

当t=1或秒时，△PCQ与△ACB相似；

（3）如图，过点作交于，则

即

∴

∵

∴

△∽△

∴

∴，

∴

在中，,

即

∴

∴

故答案为：（1）cm；（2）当t=1或秒时，△PCQ与△ACB相似；（3）CE=3+t.