Question

如图①，在△ABC中，AC＝BC，点D是线段AB上一动点，∠EDF绕点D旋转，在旋转过程中始终保持∠A＝∠EDF，射线DE与边AC交于点M，射线DE与边BC交于点N，连接MN．

（1）找出图中的一对相似三角形，并证明你的结论；

（2）如图②，在上述条件下，当点D运动到AB的中点时，求证：在∠EDF绕点D旋转过程中，点D到线段MN的距离为定值．

Answer

（1）△ADM∽△BND，理由见解析；（2）在∠EDF绕点D旋转过程中，点D到线段MN的距离为定值．

【解析】

（1）根据相似三角形的判定解答即可；

（2）作DG⊥MN，DH⊥AM，利用相似三角形的判定和性质解答即可．

（1）△ADM∽△BND，理由如下：

∵AC=BC，

∴∠A=∠B，

∵∠A+∠AMD=∠EDF+∠BDN，

∵∠A=∠EDF，

∴∠AMD=∠BDN，

∴△ADM∽△BND；

（2）证明：作DG⊥MN于G，DH⊥AM于H，如图②，

由（1）得，△ADM∽△BND，

∴=，

∵AD=BD，

∴=，又∠A=∠EDF，

∴△ADM∽△DNM，

∴∠AMD=∠NMD，又DG⊥MN，DH⊥AM，

∴DG=DH，即在∠EDF绕点D旋转过程中，点D到线段MN的距离为定值．