Question

如图，AM是△ABC的中线，点D是线段AM上一点（不与点A重合）．过点D作KD∥AB，交BC于点K，过点C作CE∥AM，交KD的延长线于点E，连接AE、BD．

（1）求证：△ABM∽△EKC；

（2）求证：AB•CK＝EK•CM；

（3）判断线段BD、AE的关系，并说明理由．

Answer

（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）BD∥AE，BD＝AE．理由见解析.

【解析】

（1）根据平行线的性质得到∠ABC=∠EKC，∠AMB=∠ECK，得到△ABM∽△EKC；

（2）根据相似三角形的性质得到比例式，计算即可；

（3）根据相似三角形的性质得到DE=AB，得到四边形ABDE是平行四边形，根据平行是四边形的性质解答．

（1）∵KD∥AB，

∴∠ABC＝∠EKC，

∵CE∥AM，

∴∠AMB＝∠ECK，

∴△ABM∽△EKC；

（2）∵△ABM∽△EKC，

∴，

∴AB•CK＝EK•BM，

∵AM是△ABC的中线，

∴BM＝CM，

∴AB•CK＝EK•CM；

（3）【解析】
BD∥AE，BD＝AE，

∵CE∥AM，

∴，

∵，

∴DE＝AB，

∵DE∥AB，

∴四边形ABDE是平行四边形，

∴BD∥AE，BD＝AE．