Question

教材第九章中探索乘法公式时，设置由图形面积的不同表示方法验证了乘法公式．我国著名的数学家赵爽，早在公元3世纪，就把一个矩形分成四个全等的直角三角形，用四个全等的直角三角形拼成了一个大的正方形(如图①)，这个图形称为赵爽弦图，验证了一个非常重要的结论：在直角三角形中两直角边a、b与斜边c满足关系式a²＋b²＝c²，称为勾股定理．

(1)爱动脑筋的小明把这四个全等的直角三角形拼成了另一个大的正方形(如图②)，也能验证这个结论，请你帮助小明完成验证的过程．

(2)小明又把这四个全等的直角三角形拼成了一个梯形(如图③)，利用上面探究所得结论，求当a＝3，b＝4时梯形ABCD的周长．

(3)如图④，在每个小正方形边长为1的方格纸中，△ABC的顶点都在方格纸格点上．请在图中画出△ABC的高BD，利用上面的结论，求高BD的长．

Answer

（1）根据题意，我们可在图中找等量关系，由中间的小正方形的面积等于大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，列出等式化简即可得出勾股定理的表达式；（2）；（3）作出高BD如下图，BD=

【解析】

（1）根据四个全等的直角三角形的面积+阴影部分小正方形的面积=大正方形的面积，代入数值，即可证明；
（2）由（1）中结论先求出c的值，再根据周长公式即可得出梯形ABCD的周长；
（3）先根据高的定义画出BD，由（1）中结论求出AC的长，再根据△ABC的面积不变列式，即可求出高BD的长．

(1)证明 由图得，×ab×4＋c2＝(a＋b)×(a＋b)，

整理，得2ab＋c2＝a2＋b2＋2ab，

即a2＋b2＝c2；

(2)解 ∵a＝3，b＝4，

∴c＝＝5，

梯形ABCD的周长为：a＋c＋3a＋c＝4a＋2c＝4×3＋2×5＝22；

(3)解 如图4，BD是△ABC的高．

∵S△ABC＝AC·BD＝AB×3，AC＝＝5，

∴BD＝＝＝.

故答案为：(1)见解析；(2)22;(3) .