Question

如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D，E是BC上的两点，且∠DAE=30°，将△AEC绕点A顺时针旋转120°后，得到△AFB，连接DF.下列结论中正确的个数有（　　）

①∠FBD=60°；②△ABE∽△DCA；③AE平分∠CAD；④△AFD是等腰直角三角形.

A. 1个    B. 2个    C. 3个    D. 4个

Answer

B

【解析】

根据旋转的性质得出∠ABF＝∠C，求出∠ABC＝∠C＝30°，即可判断①；根据三角形外角性质求出∠ADC＝∠BAE，根据相似三角形的判定即可判断②；求出∠EAC大于30°，而∠DAE＝30°，即可判断③；求出△AFD是直角三角形，但是不能推出是等腰三角形，即可判断④．

【解析】
∵在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，

∴∠ABC＝∠C＝30°，

∵将△AEC绕点A顺时针旋转120°后，得到△AFB，

∴△AEC≌△AFB，

∴∠ABF＝∠C＝30°，

∴∠FBD＝30°＋30°＝60°，∴①正确；

∵∠ABC＝∠DAE＝30°，

∴∠ABC＋∠BAD＝∠DAE＋∠BAD，

即∠ADC＝∠BAE，

∵∠ABC＝∠C，

∴△ABE∽△DCA，∴②正确；

∵∠C＝∠ABC＝∠DAE＝30°，∠BAC＝120°，

∴∠BAD＋∠EAC＝120°−∠DAE＝90°，

∴∠ABC＋∠BAD＜90°，

∴∠ADC＜90°，

∴∠DAC＞60°，

∴∠EAC＞30°，

即∠DAE≠∠EAC，∴③错误；

∵将△AEC绕点A顺时针旋转120°后，得到△AFB，

∴AF＝AE，∠EAC＝∠BAF，

∵∠BAC＝120°，∠DAE＝30°，

∴∠BAD＋∠EAC＝90°，

∴∠DAB＋∠BAF＝90°，

即△AFD是直角三角形，

∵在△DAE中，∠ADE＝∠ABC＋∠BAD，∠AED＝∠C＋∠EAC，∠ABC＝∠C，但是根据已知不能推出∠BAD＝∠EAC，

∴∠ADE和∠AED不相等，

∴AD和AE不相等，

即△AFD是直角三角形，但是不一定是等腰三角形，∴④错误；

故选：B．