Question

如图，□ABCD的对角线交于点O，点E在边BC的延长线上，且OE=OB，连接DE．

（1）求证：△BDE是直角三角形；

（2）如果OE⊥CD，试判断△BDE与△DCE是否相似，并说明理由．

Answer

（1）证明见解析；（2）相似，理由见解析.

【解析】试题（1）由平行四边形ABCD 对角线互相平分、已知条件OE=OB以及等边对等角推知∠BED=∠OEB+∠OED=90°，则DE⊥BE，即△BDE是直角三角形；

（2）利用两角法证得△BDE与△DCE相似．

证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OB=OD，

∵OE=OB， ∴OE=OD，

∴∠OBE=∠OEB，∠ODE=∠OED，

∵∠OBE+∠OEB+∠ODE+∠OED=180°，

∴∠BED=∠OEB+∠OED=90°，

∴DE⊥BE，即△BDE是直角三角形；

（2）△BDE与△DCE相似．

理由如下：

∵OE⊥CD，

∴∠CEO＋∠DCE=∠CDE＋∠DCE=90°，

∴∠CEO=∠CDE，

∵∠OBE=∠OEB，

∴∠DBE=∠CDE，

∵∠BED=∠DEC=90°，

∴△BDE∽△DCE.