Question

如图，二次函数y=x²+bx+c的图象与x轴交于 A、B两点，与y轴交于点C，OB=OC．点D在函数图象上，CD∥x轴，且CD=2，直线l是抛物线的对称轴，E是抛物线的顶点．

（1）求b、c的值；

（2）如图①，连接BE，线段OC上的点F关于直线l的对称点F'恰好在线段BE上，求点F的坐标；

（3）如图②，动点P在线段OB上，过点P作x轴的垂线分别与BC交于点M，与抛物线交于点N．试问：抛物线上是否存在点Q，使得△PQN与△APM的面积相等，且线段NQ的长度最小？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，说明理由．

   

Answer

（1）c=﹣3；（2）点F的坐标为（0，﹣2）；（3）存在点Q满足题意．存在满足题意的点Q，其坐标为（，）或（，）．

【解析】

（1）由条件可求得抛物线对称轴，则可求得b的值；由OB=OC，可用c表示出B点坐标，代入抛物线解析式可求得c的值；
（2）可设F则可表示出F′的坐标，由B、E的坐标可求得直线BE的解析式，把F′坐标代入直线BE解析式可得到关于m的方程，可求得F点的坐标；
（3）设点P坐标为，可表示出PA、PB、PN的长，作 垂足为R，则可求得QR的长，用n可表示出Q、R、N的坐标，在中，由勾股定理可得到关于n的二次函数，利用二次函数的性质可知其取得最小值时n的值，则可求得Q点的坐标，

（1）∵CD∥x轴，CD=2，

∴抛物线对称轴为x=1．

∴

∵OB=OC，

∴B点的坐标为

∴ 解得或 （舍去），

∴

（2）设点F的坐标为

∵对称轴为直线x=1，

∴点F关于直线l的对称点的坐标为

由（1）可知抛物线解析式为

∴

∵直线BE经过点

∴利用待定系数法可得直线BE的表达式为

∵点在BE上，

∴ 即点F的坐标为

（3）存在点Q满足题意．

设点P坐标为，则

作 垂足为R，

∵

∴

∴

点Q在直线PN的左侧时，Q点的坐标为 R点的坐标为N点的坐标为

∴在中，

∴时，NQ取最小值1．此时Q点的坐标为

点Q在直线PN的右侧时，Q点的坐标为

同理，

∴时，NQ取最小值1．此时Q点的坐标为

综上可知存在满足题意的点Q，其坐标为或