Question

勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，请你利用图1或图2证明勾股定理（其中∠DAB＝90°）

求证：a²+b²＝c²．

Answer

见解析.

【解析】

图1，根据三个直角三角形的面积和等于梯形的面积列式化简即可得证；

图2，连结DB，过点D作BC边上的高DF，则DF＝EC＝b﹣a，表示出S四边形ADCB＝S△ACD+S△ABC，S四边形ADCB＝S△ADB+S△DCB，两者相等，整理即可得证．

利用图1进行证明：

证明：∵∠DAB＝90°，点C，A，E在一条直线上，BC∥DE，则CE＝a+b，

∵S四边形BCED＝S△ABC+S△ABD+S△AED＝ab+c2+ab，

又∵S四边形BCED＝（a+b）2，

∴ab+c2+ab＝（a+b）2，

∴a2+b2＝c2．

利用图2进行证明：

证明：如图，连结DB，过点D作BC边上的高DF，则DF＝EC＝b﹣a，∵S四边形ADCB＝S△ACD+S△ABC＝b2+ab．

又∵S四边形ADCB＝S△ADB+S△DCB＝c2+a（b﹣a），

∴b2+ab＝c2+a（b﹣a），

∴a2+b2＝c2．