Question

如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝BC＝2，AD＝1，CD＝3．

(1)求∠DAB的度数．

(2)求四边形ABCD的面积．

Answer

(1)∠BAD＝135°；（2）四边形ABCD的面积 2+

【解析】

试题（1）由于∠B=90°，AB=BC=2，利用勾股定理可求AC，并可求∠BAC=45°，而CD=3，DA=1，易得AC2+DA2=CD2，可证△ACD是直角三角形，于是有∠CAD=90°，从而易求∠BAD．

（2）连接AC，则可以计算△ABC的面积，根据AB、BC可以计算AC的长，根据AC，AD，CD可以判定△ACD为直角三角形，根据AD，CD可以计算△ACD的面积，四边形ABCD的面积为△ABC和△ACD面积之和．

试题解析：

（1）∵∠B=90°，AB=BC=2，
∴AC= =2 ，∠BAC=45°，
又∵CD=3，DA=1，
∴AC2+DA2=8+1=9，CD2=9，
∴AC2+DA2=CD2，
∴△ACD是直角三角形，
∴∠CAD=90°，
∴∠DAB=45°+90°=135°．
故∠DAB的度数为135°．

（2）连接AC，如图所示：

在直角△ABC中，AC为斜边，且AB=BC=2，则AC=,

∵AD=1，CD=3，

∴AC2+CD2=AC2，
即△ACD为直角三角形，且∠ADC=90°，
四边形ABCD的面积=S△ABC+S△ACD=AB×BC+AD×AC=2+.