Question

如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，BD⊥AC于点D；CE平分∠ACB，交AB于点E，交BD于点F．

(1)求证：△BEF是等腰三角形；

(2)求证：BD＝(BC+BF)．

Answer

（1）证明见解析（2）证明见解析

【解析】

(1)由AB=BC ，可得∠A=∠ACB=45°，由CE平分∠ACB可得∠ECA的度数，根据外角性质求出∠BSF的度数，由直角三角形两锐角互余求出∠CFD的度数即可得结论；（2）延长AB至M，使得BM=AB，连接CM，根据中位线定理可知BD=CM，由BD//CM，可求出∠MCE的度数，即可证明MC=ME，根据等量关系证明，即可得结论.

（1）在△ABC中，AB=BC，BD⊥AC于点D，

∴∠ABD=∠CBD，AD=CD，

∵∠ABC=90°，

∴∠A=∠ACB=45°，

∵CE平分∠ACB，

∴∠ECB=∠ACE=22.5°，

∴∠BEF=∠A+∠ACF=67.5°，∠BFE=∠CFD=90°-22.5°=67.5°，

∴∠BEF=∠BFE，

∴BE=BF，

∴△BEF是等腰三角形；

（2）如图，延长AB至M，使得BM=AB，连接CM，

∵AB=BM，AD=CD，

∴BD∥CM，BD=CM，

∴∠BCM=∠DBC=∠ABD=∠BMC=45°，

∴∠MCE=45°+22.5°=67.5°，

∴∠BEF=MCE，

∴MC=EM，

∵AB=BM，AB=BC

∴BC=BM，

由（1）得，BE=BF，

∴BD=EM=（BM+BE）=（BC+BF）.