Question

已知：如图，∠MON＝90°，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，将△ABC的两个顶点A、B放在射线OM和ON上移动，作CD⊥ON于点D，记OA＝x(当点O与A重合时，x的值为0)，CD＝y．

小明根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．

下面是小明的探究过程，请补充完整．

(1)通过取点、画图、计算、测量等方法，得到了x与y的几组值，如下表(补全表格)

x/cm	0	1	2	3	4	4.5	5
y/cm	2.4	3.0	3.5	3.9	4.0	3.9

(说明：补全表格时相关数值保留一位小数)

(2)建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象．

(3)结合画出的函数图象，解决问题；当x的值为　   　时，线段OC长度取得最大值为　   　cm．

Answer

（1）见解析；（2）见解析；（3）当x=4时，OC长度的最大值为5

【解析】

（1）根据勾股定理求出AB的长，可知x=5时B点与O点重合，过C作CE⊥OA于E，利用直角三角形的性质可求出CE的长，利用勾股定理求出CD的长即可；（2）根据表中数据描点画图即可；（3）取AB中点E，连接OE、CE，在直角三角形AOB和直角三角形ABC中，OE=AB，CE=AB，利用OE+CE≥OC，所以OC的最大值为OE+CE，即OC的最大值=AB=5．由AB=OC，AE=BE，CE=OE，∠ACB=90°可知四边形ACBO为矩形，可知D点与B重合，即y=4，由表中数据可知y=4时，x=4即可得答案.

（1）通过取点、画图、计算、测量等方法，得到了x与y的几组值，如下表：

如图：∵AC=3cm，BC=4cm，

∴AB==5cm，

∴x=5时，B与O重合，即OA=5，

过C作CE⊥OA于E，

∴CEOA=ACBC，解得：CE=2.4，

∴y=CD===3.2cm，

x/cm

0

1

2

3

4

4.5

5

y/cm

2.4

3.0

3.5

3.9

4.0

3.9

3.2

故表中答案为：3.2

（2）如下图

（3）取AB中点E，连接OE、CE，

在直角三角形AOB和直角三角形ACB中，OE=AB=2.5，CE=AB=2.5，

∵OE+CE≥OC，

∴当E点在OC上时OC有最大值为OE+CE，

即OC的最大值=AB=5．

∵AB=OC，AE=BE，CE=OE，∠ACB=90°，

∴四边形ACBO是矩形，

∴D与B重合，即BC=CD=y=4，

由表中数据可知y=4时x=4，

∴x=4时，OC长度的最大值为5.