Question

已知：正方形ABCD的边长为2，点M在射线BC上，且∠BAM＝θ，射线AM交BD于点N，作CE⊥AM于点E．

(1)如图1，当点M在边BC上时，则θ的取值范围是(点M与端点B不重合)　   　；∠NCE与∠BAM的数量关系是　   　；

(2)若点M在BC的延长线时；

①依题意，补全图2；

②(1)中的∠NCE与∠BAM的数量关系是否发生变化？若变化，写出数量关系，并说明理由．

Answer

（1）；（或）（2）①图见解析；②变化：（或）

【解析】

（1）连接AC，根据∠BAC=45°解答即可求出的取值范围；通过证明△BAN≌△BCN可证明∠BAM=∠BCN，根据∠BAM+∠AMB=90°，∠ECM+∠CME=90°，∠AMB=∠CME可知∠BAM=∠ECM，即可证明；（2）①根据题意画出图形即可；②连接AC，根据正方形的性质可证明AN=CN,即可证明∠NAC=∠NCA，根据外角性质及直角三角形两锐角互余即可求出∠NCE=180°-2∠BAN.

（1）连接AC，则∠BAC=45°，

∵M在BC上，不与B重合，

∴≤45°.

∵AB=BC，∠ABN=∠CBN=45°，BN=BN，

∴△BAN≌△BCN，

∴∠BAM=∠BCN，

∵∠BAM+∠AMB=90°，∠ECM+∠CME=90°，∠AMB=∠CME

∴∠BAM=∠ECM，

∴∠NCE=∠BCN+∠ECM=2∠BAM

故答案为：≤45°；（或）.

（2）①补全图如下：

②有变化；∠NCE=180°-2∠BAN.理由如下：

如图：连接AC，

∵AC、BD是正方形ABCD的对角线，

∴NA=NC，

∴∠NAC=∠NCA，

∴∠ENC=2∠NAC，

∵∠NAC=∠BAN-45°，∠ENC=90°-∠NCE，

∴90°-∠NCE=2（∠BAN-45°）

∴∠NCE=180°-2∠BAN.（或）