Question

观察下列各式的规律：

(a－b)(a＋b)＝a²－b²；

(a－b)(a²＋ab＋b²)＝a³－b³；

(a－b)(a³＋a²b＋ab²＋b³)＝a⁴－b⁴；

……

可得到(a－b)(a²⁰¹⁷＋a²⁰¹⁶b＋…＋ab²⁰¹⁶＋b²⁰¹⁷)＝____．

Answer

a2018－b2018

【解析】

由题意可发现第n个式子为(a－b)(an＋an-1b＋…＋abn-1＋bn)= an+1－bn+1

代入n=2007即可得出答案.

第1个式子为(a－b)(a＋b)＝a2－b2；

第2个式子为(a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3；

第3个式子为(a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3)＝a4－b4；

…

则第n个式子为(a－b)(an＋an-1b＋…＋abn-1＋bn)= an+1－bn+1

∴第2017个式子(a－b)(a2017＋a2016b＋…＋ab2016＋b2017)= a2018－b2018