Question

已知抛物线y₁＝ax²+bx+c（ab≠0）经过原点，顶点为A．

（1）若点A的坐标是（﹣2，﹣4），

①求抛物线的解析式；

②把抛物线在第三象限之间的部分图象记为图象G，若直线y＝﹣x+n与图象G有两个不同的交点，求n的取值范围；

（2）若直线y₂＝ax+b经过点A，当1＜x＜2时，比较y₁与y₂的大小．

Answer

（1）①y1＝x2+4x；②﹣＜n＜﹣2；（2）当a＞0时，a（x﹣2）（x﹣1）＜0，y1＜y2；当a＜0时，a（x﹣2）（x﹣1）＞0，y1＞y2．

【解析】

（1）①设抛物线的解析式为：y1＝a（x+2）2﹣4，根据抛物线y1＝ax2+bx+c（ab≠0）经过原点，得到0＝4a﹣4，于是得到结论；

②在y1＝x2+2x中，令y1＝0，则x2+2x＝0，得到抛物线与x轴的交点为：（﹣2，0），（0，0）；解不等式得到n＞﹣，当直线y＝﹣x+n过点（﹣2，0），则n＝﹣2，于是得到结论；

（2）将函数y1的解析式配方，即可找出其顶点坐标，将顶点坐标代入函数y2的解析式中，即可得出a、b的关系，再根据ab≠0，用a表示出b，两函数解析式做差，即可得出y1﹣y2＝a（x﹣2）（x﹣1），根据x的取值范围可得出（x﹣2）（x﹣1）＜0，分a＞0或a＜0两种情况考虑，即可得出结论．

（1）①∵顶点A（﹣2，﹣4），

∴设抛物线的解析式为：y1＝a（x+2）2﹣4，

∵抛物线y1＝ax2+bx+c（ab≠0）经过原点，

∴0＝4a﹣4，

∴a＝1，

∴抛物线的解析式为：y1＝x2+4x；

②在y1＝x2+2x中，令y1＝0，则x2+2x＝0，

解得：x1＝0，x2＝﹣2，

∴抛物线与x轴的交点为：（﹣2，0），（0，0）；

解得，x2+3x﹣n＝0，

∵抛物线在第三象限之间的部分图象记为图象G，若直线y＝﹣x+n与图象G有两个不同的交点，

∴△＝9+4n＞0，

∴n＞﹣，

当直线y＝﹣x+n过点（﹣2，0），则n＝﹣2，

∴n的取值范围为：﹣＜n＜﹣2；

（2）∵抛物线y1＝ax2+bx+c（ab≠0）经过原点，

∴y1＝ax2+bx＝a（x+）2﹣，

∴函数y1的顶点为（﹣，﹣），

∵函数y2的图象经过y1的顶点，

∴﹣＝a（﹣）+b，即b＝﹣，

∵ab≠0，

∴﹣b＝2a，

∴b＝﹣2a，

∴y1＝ax2﹣2ax＝ax（x﹣2），y2＝ax﹣2a，

∴y1﹣y2＝a（x﹣2）（x﹣1）．

∵1＜x＜2，

∴x﹣2＜0，x﹣1＞0，（x﹣2）（x﹣1）＜0．

当a＞0时，a（x﹣2）（x﹣1）＜0，y1＜y2；

当a＜0时，a（x﹣2）（x﹣1）＞0，y1＞y2．