Question

如图，△ABC是边长为4的等边三角形，点D是线段BC的中点，∠EDF＝120°，把

∠EDF绕点D旋转，使∠EDF的两边分别与线段AB、AC交于点E、F．

（1）当DF⊥AC时，求证：BE＝CF；

（2）在旋转过程中，BE+CF是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由；

（3）在旋转过程中，连接EF，设BE＝x，△DEF的面积为S，求S与x之间的函数解析式，并求S的最小值．

Answer

（1）见解析；（2）BE+CF＝2，是为定值；（3）S＝（x﹣1）2，当x＝1时，S最小值为.

【解析】

（1）根据四边形内角和为360°，可求∠DEA＝90°，根据“AAS”可判定△BDE≌△CDF，即可证BE＝CF；

（2）过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，如图2，易证△MBD≌△NCD，则有BM＝CN，DM＝DN，进而可证到△EMD≌△FND，则有EM＝FN，就可得到BE+CF＝BM+EM+CF＝BM+FN+CF＝BM+CN＝2BM＝2BD×cos60°＝BD＝BC＝2；

（3）过点F作FG⊥AB，由题意可得S△DEF＝S△ABC﹣S△AEF﹣S△BDE﹣S△BCF，则可求S与x之间的函数解析式，根据二次函数最值的求法，可求S的最小值．

（1）∵△ABC是边长为4的等边三角形，点D是线段BC的中点，

∴∠B＝∠C＝60°，BD＝CD，

∵DF⊥AC，

∴∠DFA＝90°，

∵∠A+∠EDF+∠AFD+∠AED＝180°，

∴∠AED＝90°，

∴∠DEB＝∠DFC，且∠B＝∠C＝60°，BD＝DC，

∴△BDE≌△CDF（AAS）

（2）过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，

则有∠AMD＝∠BMD＝∠AND＝∠CND＝90°．

∵∠A＝60°，

∴∠MDN＝360°﹣60°﹣90°﹣90°＝120°．

∵∠EDF＝120°，

∴∠MDE＝∠NDF．

在△MBD和△NCD中，

∴△MBD≌△NCD（AAS）

BM＝CN，DM＝DN．

在△EMD和△FND中，，

∴△EMD≌△FND（ASA）

∴EM＝FN，

∴BE+CF＝BM+EM+CF＝BM+FN+CF＝BM+CN

＝2BM＝2BD×cos60°＝BD＝BC＝2

（3）过点F作FG⊥AB，垂足为G，

∵BE＝x

∴AE＝4﹣x，CF＝2﹣x，

∴AF＝2+x，

∵S△DEF＝S△ABC﹣S△AEF﹣S△BDE﹣S△BCF，

∴S＝BC×AB×sin60°﹣AE×AF×sin60°﹣BE×BD×sin60°﹣CF×CD×sin60°

＝4﹣×（4﹣x）×（2+x）×﹣×x×2×﹣×（2﹣x）×2×

∴S＝（x﹣1）2+（

∴当x＝1时，S最小值为