Question

矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，当△CEB′为直角三角形时，BE的长为(   )

A. 3    B.     C. 2或3    D. 3或

Answer

D

【解析】

当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：

①当点B′落在矩形内部时，如图1所示．

连结AC，先利用勾股定理计算出AC=5，根据折叠的性质得∠AB′E=∠B=90°，而当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，所以点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，则EB=EB′，AB=AB′=3，可计算出CB′=2，设BE=x，则EB′=x，CE=4-x，然后在Rt△CEB′中运用勾股定理可计算出x．

②当点B′落在AD边上时，如图2所示．此时ABEB′为正方形．

当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：

①当点B′落在矩形内部时，如图1所示．

连结AC，

在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，

∴AC==5，

∵∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，

∴∠AB′E=∠B=90°，

当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，

∴点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，

∴EB=EB′，AB=AB′=3，

∴CB′=5-3=2，

设BE=x，则EB′=x，CE=4-x，

在Rt△CEB′中，

∵EB′2+CB′2=CE2，

∴x2+22=（4-x）2，解得x=，

∴BE=；

②当点B′落在AD边上时，如图2所示．

此时ABEB′为正方形，

∴BE=AB=3．

综上所述，BE的长为或3．

故选D．