Question

已知，点E、F、G、H在正方形ABCD的边上，且AE＝BF＝CG＝DH．在点E、F、G、H处分别沿45°方向剪开(即∠BEP＝∠CFQ＝∠DGM＝∠AHN＝45°)，把正方形ABCD剪成五个部分，中间的部分是四边形PQMN．

(1)如图①，四边形PQMN_______正方形(填“是”或“不是”)；

(2)如图②，延长DA、PE，交于点R，则S_△RNH：S_{正方形ABCD}＝_____；

(3)若AE＝5cm，则四边形PQMN的面积是______cm²．

Answer

是 1：4 50

【解析】

（1）依据四边形内角和定理可以判定四边形PQMN矩形，然后证明一组邻边相等，可以证得四边形是正方形；

（2）设AE＝a，AH＝b，则HD＝a，即AD＝a+b，由题意可得AR＝AE＝HD＝a，用a，b表示△NHR和正方形ABCD的面积可得结论；

（3）由题意可求S四边形AENH＝（a+b）2﹣a2．则四边形PQMN的面积＝（a+b）2﹣4×[（a+b）2﹣a2]＝2a2．把a＝5cm代入可求值．

（1）∵∠BEP＝∠CFQ＝∠DGM＝∠AHN＝45°

∴∠AEN＝∠DHM＝∠CGQ＝∠BFP＝135°

∵∠B+∠BEF+∠BFP+∠EPF＝360°

∴∠EPF＝90°即∠EPQ＝90°

同理可得∠MNP＝∠NMQ＝∠MQP＝90°

∴四边形PNMQ是矩形

如图：连接EH，HG，EF，GF

∵四边形ABCD是正方形

∴AB＝BC＝CD＝DA，∠A＝∠B＝∠C＝∠D

∵AE＝HD＝CG＝BF

∴BE＝AH＝DG＝CF

∴△AEH∽△HDG≌△CFG≌△BEF

∴EF＝EH＝HG＝FG，∠EFB＝∠FGC

∵∠FGC+∠GFC＝90°

∴∠EFB+∠GFC＝90°即∠EFG＝90°

同理可得∠HGF＝90°＝∠EHG＝∠HEF

∵∠EFP+∠PFG＝90°，∠PFG+∠QGF＝90°

∴∠EFP＝∠QGF且EF＝FG，∠EPF＝∠FQG＝90°

∴△EFP≌△FQG

∴EP＝FQ，FP＝QG

同理可得：EP＝HN＝HG＝GF，PF＝QG＝EN＝MH

∴NP＝PQ＝MN＝MQ且四边形PNMQ是矩形

∴四边形PNMQ是正方形

故答案为 是

（2）

设AE＝a，AH＝b，则HD＝a，即AD＝a+b

∵EN⊥HN，∠AHN＝45°

∴∠R＝45°＝∠AHN，∠BAD＝90°

∴RN＝NH，∠AER＝∠R＝45°

∴AE＝AR＝a

∴RH＝a+b

∵RN⊥NH，RN＝NH

∴△RHN等腰直角三角形

∴S△RHN＝

∵S正方形ABCD＝（a+b）2

∴S△RHN：S正方形ABCD＝（a+b）2＝1：4

故答案为 1：4

（3）∵S四边形AENH＝S△RHN﹣S△ARE

∴S四边形AENH＝（a+b）2﹣a2．

∴四边形PQMN的面积＝（a+b）2﹣4×[（a+b）2﹣a2]＝2a2．

当a＝5cm，则四边形PQMN的面积＝50cm2．

故答案为50