Question

已知，△ABC是等边三角形，四边形ACFE是平行四边形，AE＝BC．

(1)如图①，求证：▱ACFE是菱形；

(2)如图②，点D是△ABC内一点，且∠ADB＝90°，∠EDC＝90°，∠ABD＝∠ACE．求证：▱ACFE是正方形．

Answer

(1)证明见解析；(2)证明见解析；

【解析】

（1）由题意直接可证

（2）由题意可证△ABD≌△AGC 可证AG＝AD，∠BAD＝∠CAG可得△ADG是等边三角形，且根据直角三角形斜边上中线等于斜边一半，可得DG＝EG＝CG＝AG. 即可证得结论．

证明：(1)∵△ABC是等边三角形，

∴AC＝BC．

∵AE＝BC，

∴AC＝AE．

∵四边形ACFE是平行四边形，

∴▱ACFE是菱形．

(2)证明：连接AF交CE于点G，连接DG

由(1)得▱ACFE是菱形，

∴∠AGC＝90°，∠GAC＝∠EAG，CG＝EG．AG＝GF

∵∠ADB＝90°，

∴∠ADB＝∠AGC．

∵△ABC是等边三角形，

∴AB＝AC，∠BAC＝60°．

在△ABD和△ACG中，

∴△ABD≌△ACG．

∴AD＝AG，∠BAD＝∠CAG．

∴∠BAD+∠DAC＝∠CAG+∠DAC．

即∠BAC＝∠DAG．

∵∠BAC＝60°，

∴∠DAG＝60°．

∵AD＝AG，

∴△DAG是等边三角形．

∴AG＝DG．

∵∠EDC＝90°，CG＝EG，

在Rt△EDC中，

有．

∵AG＝DG，

∴AG＝CG．

∴AF＝CE

又∵▱ACFE是菱形，

∴▱ACFE是正方形．