Question

已知：如图，锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，且OB=OC．

(1)求证：△ABC是等腰三角形；

(2)判断点O是否在∠BAC的角平分线上，并说明理由．

Answer

(1)证明见解析；(2) 点O在∠BAC的角平分线上，理由见解析.

【解析】

（1）通过证明∠ABC=∠ACB，由等角对等边得到AB=AC；（2）先证明A、O在BC的垂直平分线上，再由三线合一得到AO是∠BAC的角平分线.

(1)证明：∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，

∵锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，

∴∠BEC＝∠BDC＝90°，

∵∠BEC＋∠BCE＋∠ABC＝∠BDC＋∠DBC

＋∠ACB＝180°，

∴∠ABC＝∠ACB，

∴AB＝AC，

∴△ABC是等腰三角形；

(2)【解析】
连接AO并延长交BC于E，

∵AB＝AC，OB＝OC，∴AE是BC的垂直平分线，

∴∠BAE＝∠CAE，∴点O在∠BAC的角平分线上．