Question

如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点，M是BC边上的动点点M不与B，C重合，，CN与AB交于点N，连接OM，ON，下列五个结论：≌；≌；∽；；若，则的最小值是，其中正确结论的个数是　　

A. 2    B. 3    C. 4    D. 5

Answer

D

【解析】

根据正方形的性质,可判定△CNB≌△DMC, △OCM≌△OBN, △CON≌△DOM, △OMN∽△OAD,根据全等三角形的性质以及勾股定理可进行求解.

因为正方形ABCD中,CD=BC, ∠BCD=90°,

所以∠BCN+∠DCN=90°,

因为CN⊥DM,

所以∠CDM+∠DCN=90°,

所以∠BCN=∠CDM,

又因为∠CBN=∠DCM=90°,

所以△CNB≌△DMC,故①正确,

根据△CNB≌△DMC,可得CM=BN,

又因为∠OCM=∠OBN=45°,OC=OB,

所以△OCM≌△OBN,

所以OM=ON, ∠COM=∠BON,

所以∠DOC+∠COM=∠COB+∠BPN,即∠DOM=∠CON,

又因为DO=CO,

所以△OCN≌△DOM,故②正确,

因为∠BON+∠BOM=∠COM+∠BOM=90°,

所以∠MON=90°,即△MON是等腰直角三角形,

又因为△AOD是等腰直角三角形,

所以△OMN∽△OAD,故③正确,

因为AB=BC,CM=BN,

所以BM=AN,

又因为Rt△BMN中,BM2+BN2=MN2,

所以AN2+CM2=MN2,故④正确,

△OCM≌△OBN,

所以四边形BMON的面积=△BOC的面积=1,即四边形BMON的面积是定值1,

当△MNB的面积最大时, △MNO的面积最小,

设BN=x=CM,则BM=2-x,

所以△MNB的面积=,

当x=1时, △MNB的面积有最大值

此时△OMN的面积最小值是,故⑤正确,

故选D.