Question

如图，已知BD是△ABC的角平分线，CD是△ABC的外角∠ACE的外角平分线，CD与BD交于点D．

（1）若∠A=50°，则∠D=　   　；

（2）若∠A=80°，则∠D=　   　；

（3）若∠A=130°，则∠D=　   　；

（4）若∠D=36°，则∠A=　   　；

（5）综上所述，你会得到什么结论？证明你的结论的准确性．

Answer

（1）25°；（2）40°；（3）65°；（4）72°；（5）∠D=∠A；

【解析】

先根据角平分线定义得到∠ACE=2∠2，∠ABC=2∠1，再根据三角形外角性质得∠ACE=∠ABC+∠A，则2∠2=2∠1+∠A，接着再根据三角形外角性质得∠2=∠1+∠D，易得∠A=2∠D，即∠D=∠A，然后利用此结论分别解决（1）、（2）、（3）、（4）、（5）．

【解析】
如图，∵BD是△ABC的角平分线，CD是△ABC的外角∠ACE的平分线，

∴∠ACE=2∠2，∠ABC=2∠1，

∵∠ACE=∠ABC+∠A，

∴2∠2=2∠1+∠A，

而∠2=∠1+∠D，

∴2∠2=2∠1+2∠D，

∴∠A=2∠D，

即∠D=∠A，

（1）当若∠A=50°，则∠D=25°；

（2）若∠A=80°，则∠D=40°；

（3）若∠A=130°，则∠D=65°．

（4）若∠D=36°，则∠A=72°，

（5）综上所述，∠D=∠A；