Question

如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D为△ABC内一点，且BD=AD．

（1）求证：CD⊥AB；

（2）∠CAD=15°，E为AD延长线上的一点，且CE=CA．

①求证：DE平分∠BDC；

②若点M在DE上，且DC=DM，请判断ME、BD的数量关系，并给出证明；

③若N为直线AE上一点，且△CEN为等腰三角形，直接写出∠CNE的度数．

Answer

（1）详见解析；（2）①详见解析；②：ME=BD，证明详见解析；③∠CNE的度数为7.5°、15°、82.5°、150°．

【解析】

（1）根据中垂线的判定定理“与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上”可得出结论.

（2）①由∠CAD=15°，BD=AD与直角等腰三角形的性质可知，∠DBA=∠DAB=30°，则可得∠BDE=30°+30°=60°，又根据SSS可证△ADC≌△BDC，则∠ACD=∠BCD=45°，可知∠CDE=∠ACD+∠CAD=45°+15°=60°，故DE平分∠BDC.

②连接MC，由DC=DM，∠CDE=60°，可知△MCD为等边三角形，∠ECM=∠CMD-∠CAD=45°则根据SAS可证△BDC≌△EMC，得出结论ME=BD.

③根据题意可知，分类：当EN=EC时；当EN=CN时；当CE=CN时三种情况求出∠CNE的度数.

（1）证明：∵CB=CA，DB=DA，

∴CD垂直平分线段AB，

∴CD⊥AB，

故答案为：CD⊥AB.

（2）①证明：∵AC=BC，

∴∠CBA=∠CAB，

又∵∠ACB=90°，

∴∠CBA=∠CAB=45°，

又∵在△ADC和△BDC中，

，

∴△ADC≌△BDC（SSS），

∴∠CAD=∠CBD=15°，

∴∠DBA=∠DAB=30°，

∴∠BDE=30°+30°=60°，

∵∠ACB=90°，∠ACD=∠BCD，

∴∠ACD=∠BCD=45°，

∴∠CDE=∠ACD+∠CAD=45°+15°=60°，

∵∠CDE=∠BDE=60°，

∴DE平分∠BDC；

故答案为：DE平分∠BDC.

②结论：ME=BD，

理由：连接MC，

∵DC=DM，∠CDE=60°，

∴△MCD为等边三角形，

∴CM=CD，∠CMD=60°，

又∵EC=CA，∠CAD=15°，

∴∠ECM=∠CMD-∠CAD=45°,

在△BDC和△EMC中，

，

∴△BDC≌△EMC（SAS），

∴ME=BD，

故答案为：ME=BD.

③当EN=EC时，∠ENC=7.5°或82.5°；

当EN=CN时，∠ENC=150°；

当CE=CN时，∠CNE=15°，

故答案为：∠CNE的度数为7.5°、15°、82.5°、150°．