Question

如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E为AB中点，点F在CB的延长线上，且EF∥BD.

(1)求证：四边形OBFE是平行四边形；

(2)当线段AD和BD之间满足什么条件时，四边形OBFE是矩形？并说明理由．

Answer

(1)见解析;(2)见解析.

【解析】

(1)首先证明OE是△ABC的中位线，推出OE∥BC，由EF∥OB，即可得出四边形OBFE是平行四边形；

(2)当AD⊥BD时，四边形OBFE是矩形. 只要证明∠EOB＝90°即可解决问题．

(1)∵四边形ABCD是平行四边形，

∴点O是AC的中点，

又∵点E是边AB的中点，

∴OE是△ABC的中位线，

∴OE∥BC，

又∵点F在CB的延长线上，

∴OE∥BF，

∵EF∥BD，即EF∥OB，

∴四边形OBFE是平行四边形；

(2)当AD⊥BD时，四边形OBFE是矩形.

理由：由(1)可知，四边形OBFE是平行四边形，

又∵AD⊥BD，AD∥BC，且点F在BC的延长线上，

∴FC⊥BD，

∴∠OBF＝90°，

∴四边形OBFE是矩形．