Question

已知：如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，连接AD，取AD的中点E，过点A作BC的平行线与CE的延长线交于点F，连接DF.

(1)求证：AF＝DC；

(2)请问：AD与CF满足什么条件时，四边形AFDC是矩形，并说明理由．

Answer

(1)见解析;(2)见解析.

【解析】

(1)因为AF∥DC，E为AD的中点，即可根据AAS证明△AEF≌△DEC，得出AF＝DC即可；

(2)由(1)知，AF＝DC且AF∥DC，可得四边形AFDC是平行四边形，又由AD＝CF，故可根据对角线相等的平行四边形是矩形进行判定．

(1)∵AF∥DC，

∴∠AFE＝∠DCE，

又∵E为AD的中点，

∴AE＝DE，

在△AEF和△DEC中，，

∴△AEF≌△DEC(AAS)，

∴AF＝DC；

(2)当AD＝CF时，四边形AFDC是矩形；理由如下：

由(1)得：AF＝DC且AF∥DC，

∴四边形AFDC是平行四边形，

又∵AD＝CF，

∴四边形AFDC是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形)．