Question

如图，ABCD是平行四边形，E、F是对角线AC上的两点，若∠ABF＝∠CDE＝90°.

(1)求证：四边形BEDF是平行四边形；

(2)若AB＝AD＝8，BF＝6，求AE的长．

Answer

(1)见解析;(2).

【解析】

(1)由平行四边形的性质得出AB＝CD，AB∥CD，证出∠BAC＝∠DCA，由ASA证明△ABF≌△CDE，得出BF＝DE，∠AFB＝∠CED，证出BF∥DE，即可得出结论；

(2)连接BD交AC于G，证明四边形ABCD是菱形，得出AC⊥BD，证出四边形BEDF是菱形，得出BE＝BF＝6，由勾股定理求出AF，由三角形的面积关系求出BG，再由勾股定理求出EG，即可得出结果．

(1)∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB＝CD，AB∥CD，

∴∠BAC＝∠DCA，

在△ABF和△CDE中，，

∴△ABF≌△CDE(ASA)，

∴BF＝DE，∠AFB＝∠CED，

∴BF∥DE，

∴四边形BEDF是平行四边形；

(2)连接BD交AC于G，如图所示：

∵AB＝AD，

∴四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，

∴四边形BEDF是菱形，

∴BE＝BF＝6，EG＝FG，

∵∠ABF＝90°，AB＝AD＝8，BF＝6，

∴AF＝＝10，

∵△ABF的面积＝AF·BG＝AB×BF，

∴BG＝＝，

∴EG＝＝，

∴AE＝AF－2EG＝10－2×＝.