Question

如图，矩形ABCD中，延长AB至E，延长CD至F，BE＝DF，连接EF，与BC、AD分别相交于P、Q两点．

(1)求证：CP＝AQ；

(2)若BP＝1，PQ＝2，∠AEF＝45°，求矩形ABCD的面积．

Answer

（1）证明见解析；（2）8.

【解析】

试题

（1）由矩形的性质得出∠A=∠ABC=∠C=∠ADC=90°，AB=CD，AD=BC，AB∥CD，AD∥BC，证出∠E=∠F，AE=CF，由ASA证明△CFP≌△AEQ，即可得出结论；（2）证明△BEP、△AEQ是等腰直角三角形，得出BE=BP=1，AQ=AE，求出PE= ，得出EQ=PE+PQ= ，由等腰直角三角形的性质和勾股定理得出AQ=AE=3，求出AB=AE-BE=2，DQ=BP=1，得出AD=AQ+DQ=4，即可求出矩形ABCD的面积；

试题解析：

（1）证明：

∵四边形ABCD是矩形

∴∠A=∠ABC=∠C=∠ADC=90°

∴AB=CD，AD=BC，AB∥CD，AD∥BC

∴∠E=∠F

∵BE=DF

∴AE=CF

在△CFP和△AEQ中

∴△CFP≌△AEQ（ASA）

∴CP=AQ

（2）【解析】
∵AD∥BC

∴∠PBE=∠A=90°

∵∠AEF=45°

∴△BEP、△AEQ是等腰直角三角形

∴BE=BP=1，AQ=AE

∴PE= BP=

∴EQ=PE+PQ=+2 =3

∴AQ=AE=3

∴AB=AE﹣BE=2

∵CP=AQ，AD=BC

∴DQ=BP=1

∴AD=AQ+DQ=3+1=4

∴矩形ABCD的面积=AB×AD=2×4=8.