Question

如图,在等边△ABC中,D是边AC上一点,连接BD,将△BCD绕点B逆时针旋转60º，得到△BAE，连接ED,若BC=5,BD=4,则有以下四个结论：①△BDE是等边三角形；②AE∥BC；③△ADE的周长是9；④∠ADE=∠BDC。其中正确结论的序号是（    ）

A. ②③④    B. ①③④    C. ①②④    D. ①②③

Answer

D

【解析】

先由△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE得到BD=BE，∠DBE=60°，则可判断△BDE是等边三角形；根据等边三角形的性质得BA=BC，∠ABC=∠C=∠BAC=60°，再根据旋转的性质得到∠BAE=∠BCD=60°，∠BCD=∠BAE=60°，所以∠BAE=∠ABC=60°，则根据平行线的判定方法即可得到AE∥BC；根据等边三角形的性质得∠BDE=60°，而∠BDC>60°，则可判断∠ADE≠∠BDC；由△BDE是等边三角形得到DE=BD=4，再利用△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，则AE=CD，所以△AED的周长=AE+AD+DE=CD+AD+DE=AC+BD．

∵△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，

∴BD=BE,∠DBE=60°，

∴△BDE是等边三角形，所以①正确；

∵△ABC为等边三角形，

∴BA=BC,∠ABC=∠C=∠BAC=60°，

∵△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，

∴∠BAE=∠BCD=60°,∠BCD=∠BAE=60°，

∴∠BAE=∠ABC,

∴AE∥BC，所以②正确；

∴∠BDE=60°，

∵∠BDC=∠BAC+∠ABD>60°，

∴∠ADE≠∠BDC，所以④错误；

∵△BDE是等边三角形，

∴DE=BD=4，

而△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，

∴AE=CD，

∴△AED的周长=AE+AD+DE=CD+AD+DE=AC+4=5+4=9，所以③正确;

故选：D.