Question

如图，在平面直角坐标系中，过点A（0，6）的直线AB与直线OC相交于点C（2，4）动点P沿路线O→C→B运动．（1）求直线AB的解析式；（2）当△OPB的面积是△OBC的面积的时，求出这时点P的坐标；（3）是否存在点P，使△OBP是直角三角形？若存在，直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer

；点或；点P的坐标为或．

【解析】

（1）由B、C坐标，根据待定系数法可求得直线AB的解析式；（2）由（1）列出AB的方程，求出B的坐标，求出的面积和的面积，设P的纵坐标为m，代值求出m，再列出直线OC的解析式为，当点P在OC上时，求出P点坐标，当点P在BC上时， 求出P点坐标即可；(3)根据直角三角形的性质和点坐标列出解析式解出即可.

点A的坐标为，

设直线AB的解析式为，

点在直线AB上，

，

，

直线AB的解析式为；

由知，直线AB的解析式为，

令，

，

，

，

，

的面积是的面积的，

，

设P的纵坐标为m，

，

，

，

直线OC的解析式为，

当点P在OC上时，，

，

当点P在BC上时，，

，

即：点或；

是直角三角形，

，

当点P在OC上时，由知，直线OC的解析式为，

直线BP的解析式的比例系数为，

，

直线BP的解析式为，

联立，解得，

，

当点P在BC上时，由知，直线AB的解析式为，

直线OP的解析式为，联立解得，，

，

即：点P的坐标为或．