Question

如图，平行四边形ABCD中，∠ABC＝60°，点E、F分别在CD、BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BF，垂足为点F，DF＝2．

（1）求证：D是EC中点；

（2）求EF的长．

Answer

（1）证明见解析；（2）2.

【解析】

（1）根据平行四边形的对边平行可以得到AB∥CD，又AE∥BD，可以证明四边形ABDE是平行四边形，所以AB＝DE，故D是EC的中点；

（2）连接DF，则△EFC是直角三角形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可以得到△CDF是等边三角形，根据勾股定理即可得到结论．

（1）证明：在平行四边形ABCD中，

AB∥CD，且AB＝CD，

又∵AE∥BD，

∴四边形ABDE是平行四边形，

∴AB＝DE，

∴CD＝DE，

即D是EC的中点；

（2）【解析】
∵EF⊥BF，

∴△EFC是直角三角形

又∵D是EC的中点，

∴DF＝CD＝DE＝2，

∵AB∥CD,∠ABC＝60°，

∴∠DCF＝60°，

∴△DCF是等边三角形，

∴CF＝2，

∴在Rt△ECF中

EF＝＝＝2．

故答案为：（1）证明见解析；（2）2.