Question

如图1，AB∥CD，点E是直线AB、CD之间的一点，连接EA、EC．

（1）探究猜想：

①若∠A＝20°，∠C＝50°，则∠AEC＝　   　．

②若∠A＝25°，∠C＝40°，则∠AEC＝　   　．

③猜想图1中∠EAB、∠ECD、∠AEC的关系，并证明你的结论（提示：作EF∥AB）．

（2）拓展应用：

如图2，AB∥CD，线段MN把ABCD这个封闭区域分为I、Ⅱ两部分（不含边界），点E是位于这两个区域内的任意一点，请直接写出∠EMB、∠END、∠MEN的关系．

Answer

（1）70°；65°；猜想：∠AEC＝∠EAB+∠ECD．（2）当点E位于区域Ⅰ时，∠EMB+∠END+∠MEN＝360°；当点E位于区域Ⅱ时，∠EMB+∠END＝∠MEN.

【解析】

（1）①过点E作EF∥AB，再由平行线的性质即可得出结论；②、③根据①的过程可得出结论；

（2）根据题意画出图形，再根据平行线的性质即可得出∠EMB、∠END、∠MEN的关系．

本题考查的是平行线的性质，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．

【解析】
（1）①如图1，过点E作EF∥AB，

∵AB∥CD，

∴AB∥CD∥EF，

∵∠A＝20°，∠C＝50°，

∴∠1＝∠A＝20°，∠2＝∠C＝50°，

∴∠AEC＝∠1+∠2＝70°；

故答案为：70°；

②同理可得，∴∠AEC＝∠1+∠2＝65°；

故答案为：65°；

③猜想：∠AEC＝∠EAB+∠ECD．

理由：如图1，过点E作EF∥CD，

∵AB∥DC

∴EF∥AB（平行于同一条直线的两直线平行），

∴∠1＝∠EAB，∠2＝∠ECD（两直线平行，内错角相等），

∴∠AEC＝∠1+∠2＝∠EAB+∠ECD（等量代换）．

（2）当点E位于区域Ⅰ时，∠EMB+∠END+∠MEN＝360°，

理由：过E作EF∥AB，

∵AB∥CD，

∴AB∥CD∥EF，

∴∠BME+∠MEF＝180°，∠DNE+∠NEF＝180°，

∴∠EMB+∠END+∠MEN＝360°；

当点E位于区域Ⅱ时，∠EMB+∠END＝∠MEN，

理由：过E作EF∥AB，

∵AB∥CD，

∴AB∥CD∥EF，

∴∠BMN＝∠FEM，∠DNE＝∠FEN，

∴∠EMB+∠END＝∠MEF+∠NEF＝∠MEN．