Question

（10分）（2015•娄底）如图，P为正方形ABCD的边BC上一动点（P与B、C不重合），连接AP，过点B作BQ⊥AP交CD于点Q，将△BQC沿BQ所在的直线对折得到△BQC′，延长QC′交BA的延长线于点M．

（1）试探究AP与BQ的数量关系，并证明你的结论；

（2）当AB=3，BP=2PC，求QM的长；

（3）当BP=m，PC=n时，求AM的长．

Answer

（1）AP=BQ，理由参见解析；（2）；（3）．

【解析】

试题（1）利用BQ⊥AP和四边形ABCD是正方形的条件证明△PBA≌△QCB即可；（2）过点Q作QH⊥AB于H，可得QH=BC=AB=3，∵BP=2PC，∴BP=2，PC=1，运用勾股定理可求得AP（即BQ）=，BH=2．由DC∥AB，得∠CQB=∠QBA．由折叠角相等可得∠C′QB=∠CQB，等量代换：∠QBA=∠C′QB，根据等角对等边得：MQ=MB．设QM=x，则有MB=x，MH=x﹣2．在Rt△MHQ中运用勾股定理求得QM；（3）过点Q作QH⊥AB于H，用（2）的思路方法求出QM的长，也就知道BM的长了，再减去AB的长就是AM的长．

试题解析：（1）证明线段相等，通常证明所在的三角形全等，此题利用BQ⊥AP和四边形ABCD是正方形的条件证明△PBA≌△QCB，证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABC=∠C=90°，∴∠ABQ+∠CBQ=90°．∵BQ⊥AP，∴∠PAB+∠QBA=90°，∴∠PAB=∠CBQ（同角的余角相等）．∴△PBA≌△QCB（ASA），∴AP=BQ（全等三角形的对应边相等）；（2）过点Q作QH⊥AB于H，如图：∵四边形ABCD是正方形，∴QH=BC=AB=3．∵BP=2PC，BP+PC=3，∴BP=2，PC=1，∵△PBA≌△QCB，∴CQ=BP=2，四边形QHCB是矩形，∴BH=CQ=2，∵四边形ABCD是正方形，∴DC∥AB，∴∠CQB=∠QBA．由折叠角相等可得∠C′QB=∠CQB，∴∠QBA=∠C′QB（等量代换），∴MQ=MB（等角对等边）．设QM=x，则有MB=x，MH=x﹣2．在Rt△MHQ中，根据勾股定理可得x2=（x﹣2）2+32，解得x=．∴QM的长为；

过点Q作QH⊥AB于H，如上题的思路可得：四边形ABCD是正方形，BP=m，PC=n，∴QH=BC=AB=m+n．∵△PBA≌△QCB，∴CQ=BP=m，四边形QHCB是矩形，∴BH=CQ=m．设QM=x，则有MB=QM=x，MH=x﹣m．在Rt△MHQ中，根据勾股定理可得x2=（x﹣m）2+（m+n）2，解得x=m+n+，∴AM=MB﹣AB=m+n+﹣m﹣n=．即AM的长为．