Question

如图，抛物线交x轴于A、B两点点A在点B的左边，交y轴于点C，直线经过点C与x轴交于点D，抛物线的顶点坐标为．

请你直接写出CD的长及抛物线的函数关系式；

求点B到直线CD的距离；

若点P是抛物线位于第一象限部分上的一个动点，则当点P运动至何处时，恰好使？请你求出此时的P点坐标．

Answer

（1）CD=5，；（2）；（3）．

【解析】

（1）求出点C，D的坐标，再用勾股定理求得CD的长；设抛物线为y=a（x﹣2）2+4，将点C坐标代入求得a，即可得出抛物线的函数表达式；

（2）过点B直线CD的垂线，垂足为H．在Rt△BDH中，利用锐角三角函数即可求得点B到直线CD的距离；

（3）把点C（0，3）向上平移4个单位，向右平移3个单位得到点E（3，7），可得△OCD≌△FEC，则△DEC为等腰直角三角形，且∠EDC═45°，所以直线ED与抛物线的交点即为所求的点P，解方程组即可得出结论．

（1）∵，∴C（0，3），D（4，0）．

∵∠COD=90°，∴CD．

设抛物线为y=a（x﹣2）2+4，将点C（0，3）代入抛物线，得：3=4a+4，∴，∴抛物线的函数关系式为；

（2）过点B作BH⊥CD于H，由，可得：x1=﹣2，x2=6，∴点B的坐标为（6，0）．

∵OC=3，OD=4，CD=5，∴OB=6，从而BD=2．在Rt△DHB中，∵BH=BD•sin∠BDH=BD•sin∠CDO=2，∴点B到直线CD的距离为．

（3）把点C（0，3）向上平移4个单位，向右平移3个单位得到点E（3，7）．

∵CF=OD=4，EF=OC=3，∠CFE=∠DOC=90°，∴△OCD≌△FEC，∴∠FCE=∠ODC，EC=DC，∴∠ECD=180°﹣（∠FCE+∠OCD）=180°﹣（∠ODC+∠OCD）=180°﹣90°=90°，∴△DEC为等腰直角三角形，且∠EDC═45°，因而，ED与抛物线的交点即为所求的点P．

由E（3，7），D（4，0），可得直线ED的解析式为：y=﹣7x+28，由，得（另一组解不合题意，已舍去．）

所以，此时P点坐标为（）．