Question

在△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC，点D是BC边上的一点，连接AD，将AD绕点D顺时针旋转90°得到DE，作EF⊥BC交BC的延长线于点F．

（1）依题意补全图形；

（2）求证：EF＝CF．

Answer

（1）如图所示见解析；（2）见解析.

【解析】

（1）依据AD绕点D顺时针旋转90°得到DE，作EF⊥BC交BC的延长线于点F进行作图．

（2）依据AAS判定△ABD≌△DFE，即可得到BD＝EF，AB＝DF，再根据AB＝BC，可得BC＝DF，进而得出BD＝CF，等量代换可得EF＝CF．

（1）如图所示：

（2）证明：由题可得，∠ADE＝∠B＝90°，AD＝ED，

∴∠BAD+∠ADB＝∠ADB+∠EDF＝90°，

∴∠BAD＝∠EDF，

在△ABD和△DFE中，

，

∴△ABD≌△DFE（AAS），

∴BD＝EF，AB＝DF，

又∵AB＝BC，

∴BC＝DF，

∴BC﹣CD＝DF﹣CD，即BD＝CF，

∴EF＝CF．