Question

如图，半圆O的直径AB＝20，弦CD∥AB，动点M在半径OD上，射线BM与弦CD相交于点E（点E与点C、D不重合），设OM＝m．

（1）求DE的长（用含m的代数式表示）；

（2）令弦CD所对的圆心角为α，且sin．

①若△DEM的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出m的取值范围；

②若动点N在CD上，且CN＝OM，射线BM与射线ON相交于点F，当∠OMF＝90° 时，求DE的长．

Answer

（1）DE＝；（2）①S＝，（＜m＜10），②DE＝.

【解析】

（1）由CD∥AB知△DEM∽△OBM，可得，据此可得；

（2）①连接OC、作OP⊥CD、MQ⊥CD，由OC＝OD、OP⊥CD知∠DOP＝∠COD，据此可得sin∠DOP＝sin∠DMQ＝、sin∠ODP＝，继而由OM＝m、OD＝10得QM＝DMsin∠ODP＝（10﹣m），根据三角形的面积公式即可得；如图2，先求得PD＝8、CD＝16，证△CDM∽△BOM得，求得OM＝，据此可得m的取值范围；

②如图3，由BM＝OBsin∠BOM＝10×＝6，可得OM＝8，根据（1）所求结果可得答案．

（1）∵CD∥AB，

∴△DEM∽△OBM，

∴，即，

∴DE＝；

（2）①如图1，连接OC、作OP⊥CD于点P，作MQ⊥CD于点Q，

∵OC＝OD、OP⊥CD，

∴∠DOP＝∠COD，

∵sin＝，

∴sin∠DOP＝sin∠DMQ＝，sin∠ODP＝，

∵OM＝m、OD＝10，

∴DM＝10﹣m，

∴QM＝DMsin∠ODP＝（10﹣m），

则S△DEM＝DE•MQ＝××（10﹣m）＝，

如图2，

∵PD＝ODsin∠DOP＝10×＝8，

∴CD＝16，

∵CD∥AB，

∴△CDM∽△BOM，

∴，即，

解得：OM＝，

∴＜m＜10，

∴S＝，（＜m＜10）．

②当∠OMF＝90°时，如图3，

则∠BMO＝90°，

在Rt△BOM中，BM＝OBsin∠BOM＝10×＝6，

则OM＝8，

由（1）得DE＝．