Question

如图，抛物线y＝x²﹣mx﹣（m+1）与x轴负半轴交于点A（x₁，0），与x轴正半轴交于点B（x₂，0）（OA＜OB），与y轴交于点C，且满足x₁²+x₂²﹣x₁x₂＝13．

（1）求抛物线的解析式；

（2）以点B为直角顶点，BC为直角边作Rt△BCD，CD交抛物线于第四象限的点E，若EC＝ED，求点E的坐标；

（3）在抛物线上是否存在点Q，使得S_△ACQ＝2S_△AOC？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．

Answer

（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）E点坐标为（，﹣）；（3）点Q的坐标为（﹣3，12）或（2，﹣3）．理由见解析.

【解析】

（1）由根与系数的关系可得x1+x2＝m，x1•x2＝﹣（m+1），代入x12+x22﹣x1x2＝13，求出m1＝2，m2＝﹣5．根据OA＜OB，得出抛物线的对称轴在y轴右侧，那么m＝2，即可确定抛物线的解析式；

（2）连接BE、OE．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出BE＝CD＝CE．利用SSS证明△OBE≌△OCE，得出∠BOE＝∠COE，即点E在第四象限的角平分线上，设E点坐标为（m，﹣m），代入y＝x2﹣2x﹣3，求出m的值，即可得到E点坐标；

（3）过点Q作AC的平行线交x轴于点F，连接CF，根据三角形的面积公式可得S△ACQ＝S△ACF．由S△ACQ＝2S△AOC，得出S△ACF＝2S△AOC，那么AF＝2OA＝2，F（1，0）．利用待定系数法求出直线AC的解析式为y＝﹣3x﹣3．根据AC∥FQ，可设直线FQ的解析式为y＝﹣3x+b，将F（1，0）代入，利用待定系数法求出直线FQ的解析式为y＝﹣3x+3，把它与抛物线的解析式联立，得出方程组，求解即可得出点Q的坐标．

（1）∵抛物线y＝x2﹣mx﹣（m+1）与x轴负半轴交于点A（x1，0），与x轴正半轴交于点B（x2，0），

∴x1+x2＝m，x1•x2＝﹣（m+1），

∵x12+x22﹣x1x2＝13，

∴（x1+x2）2﹣3x1x2＝13，

∴m2+3（m+1）＝13，

即m2+3m﹣10＝0，

解得m1＝2，m2＝﹣5．

∵OA＜OB，

∴抛物线的对称轴在y轴右侧，

∴m＝2，

∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；

（2）连接BE、OE．

∵在Rt△BCD中，∠CBD＝90°，EC＝ED，

∴BE＝CD＝CE．

令y＝x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，

∴A（﹣1，0），B（3，0），

∵C（0，﹣3），

∴OB＝OC，

又∵BE＝CE，OE＝OE，

∴△OBE≌△OCE（SSS），

∴∠BOE＝∠COE，

∴点E在第四象限的角平分线上，

设E点坐标为（m，﹣m），将E（m，﹣m）代入y＝x2﹣2x﹣3，

得m＝m2﹣2m﹣3，解得m＝，

∵点E在第四象限，

∴E点坐标为（，﹣）；

（3）过点Q作AC的平行线交x轴于点F，连接CF，则S△ACQ＝S△ACF．

∵S△ACQ＝2S△AOC，

∴S△ACF＝2S△AOC，

∴AF＝2OA＝2，

∴F（1，0）．

∵A（﹣1，0），C（0，﹣3），

∴直线AC的解析式为y＝﹣3x﹣3．

∵AC∥FQ，

∴设直线FQ的解析式为y＝﹣3x+b，

将F（1，0）代入，得0＝﹣3+b，解得b＝3，

∴直线FQ的解析式为y＝﹣3x+3．

联立，

解得，，

∴点Q的坐标为（﹣3，12）或（2，﹣3）．