Question

已知：如图，在矩形ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，P、Q分别是BM、DN的中点．

（1）求证：BM∥DN；

（2）求证：四边形MPNQ是菱形；

（3）矩形ABCD的边长AB与AD满足什么数量关系时四边形MPNQ为正方形，请说明理由．

Answer

（1）详见解析；（2）详见解析；（3）当AB＝AD时，四边形MPNQ为正方形，理由详见解析.

【解析】

（1）因为M，N分别是AD，BC的中点，由矩形的性质可得DM＝BN，DM∥BN，利用平行四边形的判定和性质可得结论；

（2）由四边形DMBN是平行四边形，求出BM＝DN，BM∥DN，求出三角形MPNQ是平行四边形，根据直角三角形斜边上中线性质求出MQ＝NQ，根据菱形判定推出即可．

（3）根据正方形的性质进行解答即可．

证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，AD＝BC，

∵M、N分别AD、BC的中点，

∴DM＝BN，

∴四边形DMBN是平行四边形；

∴BM∥DN；

（2）∵四边形DMBN是平行四边形，

∴BM＝DN，BM∥DN，

∵P、Q分别BM、DN的中点，

∴MP＝NQ，MP∥NQ，

∴四边形MPNC是平行四边形，

连接MN，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，AD＝BC，

∵M、N分别AD、BC的中点，

∴DM＝CN，

∴四边形DMNC是矩形，

∴∠DMN＝∠C＝90°，

∵Q是DN中点，

∴MQ＝NQ，

∴四边形MPNQ是菱形．

（3）当AB＝AD时，四边形MPNQ为正方形，

理由：∵AB＝AD，

∴AB＝AM，

∴矩形ABNM是正方形，

∵P为正方形ABNM对角线BM的中点，

∴∠NPM＝90°，

∵四边形MPNQ是菱形，

∴四边形MPNQ是正方形．