Question

如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝x²+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）点D为直线AC下方抛物线上一点，且∠ACD＝2∠BAC，求点D的坐标．

Answer

（1）y＝x2﹣x﹣2；（2）D（2，﹣3）

【解析】

（1）求出A、C两点坐标，利用待定系数法即可解决问题；

（2）过点D作DF∥x轴，交y轴于点E，则∠CFD＝∠BAC，推出∠CDF＝∠CFD，可得∠ACD=2∠BAC，由此利用三角函数构建方程即可解决问题；

【解析】
（1）直线y＝x﹣2与x轴交于点A, 与y轴交于点C，x=0时，y=-2，y=0时，x=4，所以A（4，0），C（0，﹣2），

把A（4，0），C（0，-2）代入y＝ x2+bx+c，得到，

解得，

∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2．

（2）过点D作DF∥x轴，交y轴于点E，则∠CFD＝∠BAC，

∵∠ACD＝2∠BAC＝∠CFD+∠CDF，

∴∠CDF＝∠CFD，

∴tan∠CDF＝tan∠BAC＝，

∴

解得x＝2，

∴D（2，﹣3）．