Question

如图，在直角坐标系中，直线y＝﹣x+与x轴交于点A，与y＝﹣x相交于点B，点C是线段OB上一动点，连接AC，在AC上方取点D，使得cos∠CAD＝，且＝，连接OD，当点C从点O运动到点B时，线段OD扫过的面积为_____．

Answer

．

【解析】

首先说明：当点C与B重合时，点D位于D1，此时AD1＝，可知点D的运动轨迹是DD1，线段OD扫过的面积为△ODD1的面积；

【解析】
∵直线y＝﹣x+与x轴交于点A，

∴A（7，0），

由 解得 ，

∴B（﹣9，12），

作BH⊥x轴于H，则BH＝12，OH＝9，AH＝16，

∴AB＝＝20，

∴cos∠BAO＝，

∵cos∠CAD＝，

∴∠BAO＝∠CAD，

当点C与O重合时，点D在线段AB上，

∵OA＝7，OA：AD＝7：5，

∴AD＝5，作DF⊥OA于F，

∴DF＝3，AF＝4，OF＝3，D（3，3），

当点C与B重合时，点D位于D1，此时AD1＝，可知点D的运动轨迹是DD1，线段OD扫过的面积为△ODD1的面积，

在AH上取一点E，使得AE＝BE，设AE＝BE＝x，

在Rt△BHE中，x2＝122+（16﹣x）2，

∴x＝ ，

∴BE＝AE＝，HE＝，作D1G⊥OA于G．

∵∠BAD1＝∠BAO，∠BAO＝∠EBA，

∴∠BEH＝∠GAD1，

∴△BHE∽△D1GA，

∴，

∴，

∴D1F＝，AG＝4，

∴OG＝3（点F与G重合），

∴D1（3，），∵D（3，3），

∴DD1∥y，

∴＝．

故答案是：．