Question

如图，在⊙O中，弦AB、CD相交于点E，＝，点D在上，连接CO，并延长CO交线段AB于点F，连接OA、OB，且OA＝，tan∠OBA＝．

（1）求证：∠OBA＝∠OCD；

（2）当△AOF是直角三角形时，求EF的长；

（3）是否存在点F，使得S_△CEF＝4S_△BOF，若存在，请求EF的长，若不存在，请说明理由．

Answer

（1）见解析；（2）EF＝或；（3）存在

【解析】

（1）先判断出∠ECB＝∠EBC，再判断出∠OCB＝∠OBC，即可得出结论；

（2）先求出EF，再分两种情况，利用锐角三角函数和相似三角形的性质即可得出结论；

（3）先利用面积关系得出，进而利用△OAF∽△EFC得出比例式，即可得出结论．

【解析】
（1）如图1，连接BC，

∵ ，

∴∠ECB＝∠EBC，

∵OB＝OC，

∴∠OCB＝∠OBC，

∴∠OCD＝∠ECF＝∠ECB﹣∠OCB＝∠EBC﹣∠OBC＝∠OBA；

（2）∵OA＝OB，

∴∠OAF＝∠OBA，

∴∠OAF＝∠ECF，

①当∠AFO＝90°时，

∵OA＝，tan∠OBA＝ ，

∴OC＝OA＝，OF＝1，AB＝4，

∴EF＝CF•tan∠ECF＝CF•tan∠OBA＝

②当∠AOF＝90°时，

∵OA＝OB，

∴∠OAF＝∠OBA，

∴tan∠OAF＝tan∠OBA＝，

∵OA＝，

∴OF＝OA•tan∠OAF＝，

∴AF＝，

∵∠OAF＝∠OBA＝∠ECF，∠OFA＝∠EFC，

∴△OFA∽△EFC，

∴，

∴EF＝OF＝,

即：EF＝或；

（3）存在，如图2，连接OE，

∵∠ECB＝∠EBC，

∴CE＝EB，

∵OE＝OE，OB＝OC，

∴△OEC≌△OEB，

∴S△OEC＝S△OEB，

∵S△CEF＝4S△BOF，

∴S△CEO+S△EOF＝4（S△BOE﹣S△EOF），

∴，

∴，

∴FO＝CO＝，

∵△OFA∽△EFC，

∴，

∴BF＝BE﹣EF＝CE﹣EF＝EF，

∴AF＝AB﹣BF＝4﹣EF，

∵△OAF∽△EFC，

∴，

∴，

∴EF＝3﹣．