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解方程|x-1|+|x+2|=5.由绝对值的几何意义知,该方程表示求在数轴上与1...

解方程|x1||x2|5.由绝对值的几何意义知,该方程表示求在数轴上与1和-2的距离之和为5的点对应的x的值.在数轴上,1和-2的距离为3,满足方程的x对应点在1的右边或-2的左边,若x对应点在1的右边,由图可以看出x2;同理,若x对应点在-2的左边,可得x=-3,故原方程的解是x2x=-3.

参考阅读材料,解答下列问题:

(1)方程|x3|4的解为________

(2)解不等式|x3||x4|≥9

(3)|x3||x4|≥a对任意的x都成立,求a的取值范围.

 

(1) 1和-7;(2) x≥4或x≤-5(3) a≤7 【解析】 (1)根据已知条件可以得到绝对值方程,可以转化为数轴上,到某个点的距离的问题,即可求解; (2)不等式|x-3|+|x+4|≥9表示到3与-4两点距离的和,大于或等于9个单位长度的点所表示的数; (3)|x-3|+|x+4|≥a对任意的x都成立,即求到3与-4两点距离的和最小的数值. (1)方程|x+3|=4的解就是在数轴上到-3这一点,距离是4个单位长度的点所表示的数,是1和-7.故解是1和-7; (2)由绝对值的几何意义知,该方程表示求在数轴上与3和-4的距离之和为大于或等于9的点对应的x的值.在数轴上,即可求得x≥4或x≤-5. (3)|x-3|+|x+4|即表示x的点到数轴上与3和-4的距离之和, 当表示对应x的点在数轴上3与-4之间时,距离的和最小,是7.故a≤7.
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