Question

如图，正方形ABCD中，点E是BC上一点，直线AE交BD于点M，交DC的延长线于点F，G是EF的中点，连接CG.求证：

(1)△ABM≌△CBM；

(2)CG⊥CM.

Answer

(1)证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】

(1)利用正方形的性质得出AB=CB，∠ABM=∠CBM，进而利用SAS得出答案；

(2)直接利用全等三角形的性质得出∠BAM=∠BCM，进而得出∠BAM=∠F，∠BCM=∠GCF进而求出答案．

证明:(1)∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝CB，∠ABM＝∠CBM，

在△ABM和△CBM中，

∴△ABM≌△CBM(SAS)，

(2)∵△ABM≌△CBM，

∴∠BAM＝∠BCM，

∵∠ECF＝90°，G是EF的中点，

∴GC＝GF，

∴∠GCF＝∠F，

又∵AB∥DF，

∴∠BAM＝∠F，

∴∠BCM＝∠GCF，

∴∠BCM＋∠GCE＝∠GCF＋∠GCE＝90°，

∴GC⊥CM.