Question

如图，AE∥BF，AC平分∠BAD，且交BF于点C，BD平分∠ABC，且交AE于点D，连接CD，求证：

（1）AC⊥BD；

（2）四边形ABCD是菱形．

Answer

（1）见解析；（2）见解析.

【解析】

（1）证得△BAC是等腰三角形后利用三线合一的性质得到AC⊥BD即可；

（2）首先证得四边形ABCD是平行四边形，然后根据对角线互相垂直得到平行四边形是菱形．

（1）∵AE∥BF，

∴∠BCA＝∠CAD，

∵AC平分∠BAD，

∴∠BAC＝∠CAD，

∴∠BCA＝∠BAC，

∴△BAC是等腰三角形，

∵BD平分∠ABC，

∴AC⊥BD；

（2）∵△BAC是等腰三角形，

∴AB＝CB，

∵∠CBD＝∠ABD＝∠BDA，

∴△ABD也是等腰三角形，

∴AB＝AD，

∴DA＝CB，

∵BC∥DA，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∵AC⊥BD，

∴四边形ABCD是菱形．