Question

如图1，已知是等腰直角三角形，，点D是BC的中点作正方形DEFG，使点A、C分别在DG和DE上，连接AE，BG．

试猜想线段BG和AE的数量关系是______；

将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转，

判断中的结论是否仍然成立？请利用图2证明你的结论；

若，当AE取最大值时，求AF的值．

Answer

（1）BG=AE．（2）①成立BG=AE．证明见解析.AF=．

【解析】

（1）由等腰直角三角形的性质及正方形的性质就可以得出△ADE≌△BDG就可以得出结论；
（2）①如图2，连接AD，由等腰直角三角形的性质及正方形的性质就可以得出△ADE≌△BDG就可以得出结论；
②由①可知BG=AE，当BG取得最大值时，AE取得最大值，由勾股定理就可以得出结论．

(1)BG=AE.

理由：如图1,∵△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°，点D是BC的中点，

∴AD⊥BC，BD=CD，

∴∠ADB=∠ADC=90°.

∵四边形DEFG是正方形，

∴DE=DG.

在△BDG和△ADE中，

BD=AD,∠BDG=∠ADE,GD=ED，

∴△ADE≌△BDG(SAS)，

∴BG=AE.

故答案为：BG=AE；

(2)①成立BG=AE.

理由：如图2，连接AD，

∵在Rt△BAC中，D为斜边BC中点，

∴AD=BD,AD⊥BC,

∴∠ADG+∠GDB=90°.         

∵四边形EFGD为正方形，

∴DE=DG,且∠GDE=90°，

∴∠ADG+∠ADE=90°，

∴∠BDG=∠ADE.

在△BDG和△ADE中，

BD=AD,∠BDG=∠ADE,GD=ED，

∴△BDG≌△ADE(SAS)，

∴BG=AE；                           

②∵BG=AE，

∴当BG取得最大值时，AE取得最大值。

如图3,当旋转角为270°时，BG=AE.

∵BC=DE=4，

∴BG=2+4=6.

∴AE=6.

在Rt△AEF中，由勾股定理，得

AF= =，

∴AF=2 .